ドライシュタイン さん プロフィール

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ドライシュタインさん: スーパーサイエンスガール
ハンドル名ドライシュタイン さん
ブログタイトルスーパーサイエンスガール
ブログURLhttp://dreistein.hatenablog.com/
サイト紹介文日々科学と格闘する高校生達の超絶難解な日常。眠る前に読むとよく眠れます。
参加カテゴリー
更新頻度(1年)情報提供0回 / 365日(平均0.0回/週) - 参加 2014/09/21 07:24

ドライシュタイン さんのブログ記事

  • SU(2)とは
  • 「次に、2行2列のユニタリ行列で行列式が1であるものの全体のなす群を2次元特殊ユニタリ群といい、SU(2)と書きます」 2次元特殊ユニタリ群(SU(2))の条件(1) 2行2列のユニタリ行列(2) 行列式が1 「ここで、SU(2)のSは、Special(特殊)の略、Uは、Unitary(ユニタリ)の略、そして(2)は、2次元の略です」 SU(2)= Special(特殊)+Unitary(ユニタリ)+2次元 「一方、一般的なN行N列のユニタリ行列か [続きを読む]
  • ユニタリ変換とユニタリ行列の関係
  • 「ところで、ユニタリ変換は、ヒルベルト空間において定義されますが、特に、ヒルベルト空間が、複素数列のベクトルで、をの複素共役として、その自乗の総和」 「からなる集合の場合、ユニタリ変換は、ユニタリ行列で表され、次のように書くことが出来ます」 「ここで、は単位行列(unit matrix)であり、ここにも『unit』という言葉が現れます。なお、ユニタリ変換は、どのような場合でもユニタ [続きを読む]
  • ユニタリ変換とは
  • 「ところで、上の保存電荷(ネーター・チャージ)の式は、(は実数)として、位相変換に対して不変となることがわかります。ここで、は、一次元のユニタリ変換と見なすことができます」「ユニタリ変換ってなによ?」一宮が首を傾げた。「ユニタリ変換は、ざっくりいえば、変換の前後で距離や角度を変えない変換です」 ユニタリ変換の性質1(等距離性):変換の前後で距離や角度を変えない 「なお [続きを読む]
  • 複素スカラー場の保存電荷3
  • 「複素スカラー場のネーター・カレントの式から、保存電荷であるネーター・チャージ(電荷)の式を導くことができます」 (2.13) 「ネーター・チャージQは、上の(2.13)式のように、ネーター・カレントの式の第0成分(時間成分)を全空間で積分した式となります。そこで、複素スカラー場のネーター・カレントの式を上の(2.13)式に代入することにより、保存電荷の式を導くことができます」 [続きを読む]
  • 複素スカラー場の保存電荷2
  • 「このラグランジアンは、を任意定数として、位相変換に対して不変となることがわかります。それゆえ、ネーターの定理から保存電流(ネーター・カレント)が存在することが分かります。そこで、(2.12)式に基づき、上のラグランジアンからネーター・カレントを導いてみます」 (2.12) 「ここで、変換は、2種類の場の変動によるものなので、(2.12)式において、2種類の場からの寄与のみを考慮します [続きを読む]
  • 複素スカラー場の保存電荷1
  • 「それでは次に、問題2.2dを解いてみます」 問題2.2d:同一の質量を有する2つの複素クライン‐ゴルドン場の場合を考えよ。場をとしなさい。いま、4つの保存電荷があり、1つは問題(c)の一般化によって与えられ、残りの3つは、次の式によって与えられることを示せ。 ここで、はパウリのシグマ行列である。これらの3つの電荷が角運動量(SU(2))の交換関係を有することを示せ。これらの結果をnの同一 [続きを読む]
  • 生成・消滅演算子で表した複素スカラー場の保存電荷3
  • 「次に、デルタ関数についても同様に、のときのみ値が残ることから、この関係を上式に代入すると、次のようになります」 「ここで、交換関係から、となり、これを上式に代入すると、次のようになります」 「最後の項は、定数、すなわち古典的なc数であり、ハミルトニアンの計算の場合と同様に、この定数項を無視すると、保存電荷の式は結局、次のようになることがわかります [続きを読む]
  • 生成・消滅演算子で表した複素スカラー場の保存電荷2
  • 「ここで、ハミルトニアンの計算と同様に、デルタ関数のフーリエ積分表示の関係を使います」 デルタ関数のフーリエ積分表示 「すると、上式は次のようになります」 「ここで、デルタ関数について、のときのみ値が残りますが、このときとなります」「どうして、と、とが等しいのよ?」 一宮が疑問を口にした。「これは、エネルギー(自然単位系では、)がの絶対値の2乗で定ま [続きを読む]
  • 生成・消滅演算子で表した複素スカラー場の保存電荷1
  • 「それでは、次に問題2.2cを解いてみましょう」 問題2.2c:保存電荷 を生成・消滅演算子の観点で書き直し、それぞれの種類の粒子の電荷を評価せよ。 「まず、上の保存電荷の式を生成・消滅演算子の観点で記述するために、上式に複素スカラー場およびその運動量密度の式を代入します」 「式変形のコツとしては、それぞれおよびでまとめるようにします」 [続きを読む]
  • 複素スカラー場の正準交換関係の計算2
  • 「次に、被積分関数の括弧[ ]の中の計算をしてみましょう」 「ここで、(2.29)式と同様に、生成・消滅演算子の交換関係および生成・消滅演算子の交換関係が次のようになるものと定義します」 (2.29) 「一方、生成演算子同士の交換関係および消滅演算子同士の交換関係はゼロになるものとします」 「そこで、これらの関係式を上式のに代入すると、次のようになりま [続きを読む]
  • 複素スカラー場の共役運動量密度
  • 「次は、問題2.2bです」 問題2.2b:生成・消滅演算子を導入することによって、ハミルトニアンを対角化せよ。また、この理論が質量の2組の粒子を含むことを示せ。 「以前、クライン-ゴルドン場をフーリエ展開して、生成演算子と消滅演算子で表しました」 (2.25) 「複素スカラー場の場合も、同様にフーリエ展開により、生成・消滅演算子で表すことができます」 「ただし、複素スカラ [続きを読む]
  • 複素スカラー場のハミルトニアン
  • 「次に、ハミルトニアンは、下の(2.5)式を用いて導くことができます」 (2.5) 「具体的には、(2.5)式の運動量に相当するのが共役運動量密度であるため、これを代入します」 「上の式に、前回導いたラグランジアンを代入します」 「ここで、の関係に注意すると、上式は次のようになります」 「これが複素スカラー場のハミルトニアンとなります [続きを読む]
  • 複素スカラー場の共役運動量密度と正準交換関係
  • 「次に、上のラグランジアンから場の共役運動量密度を導いてみましょう。一般に、共役運動量密度は次のように書くことができます」 「また、上のラグランジアンを、とに分けて考えると、次のようになります」 「それゆえ、上のラグランジアンの第1項をで微分した値が、場の共役運動量になることがわかります」 「同様に、の共役運動量を導くこともできます」 [続きを読む]
  • 複素スカラー場の作用とラグランジアン
  • 問題2.2「問題2.1を解いたので、次は問題2.2を解きましょう。問題2.2では、クライン‐ゴルドン場に従う複素数値のスカラー場の場の理論について考えてみます。この理論の作用は、次のようになります」 「基本的な力学変数として、場の実数部分と虚数部分を考えるより、2種類の場およびを考えることによって、この理論を分析すると一番簡単になります。問題aは次のとおりです」 問題a:場およびの共役 [続きを読む]
  • テンソルの添字の上げ下げと符号の関係
  • 「でも、なんでの上付き添字を下付き添字にすると、のように符号がマイナスからプラスに反転するのよ?」 一宮が訊ねた。「通常、の上付き添字を下付き添字にするには、計量テンソルをかける必要がありますが、ミンコフスキー空間の計量テンソルの場合、添字のいずれか一方が0の場合と0以外の場合とで、符号が異なります」 ミンコフスキー空間の計量テンソル 「例えば、の上付き添字を下付き添字にする操作は、ち [続きを読む]
  • エネルギー・運動量テンソルを対称的にする方法3
  • 「上のエネルギー・運動量テンソルの式において、添字を入れ替えた式が対称的となっているか調べてみましょう」 「ここで、およびの関係を用いました。次に、各項の添字を上げ下げします。それには、各項に計量テンソルをかけます」「ちょっと、勝手に計量テンソルをかけてもいいの?」 一宮が胡散臭そうな目で越野さんを見た。「その点なら問題ありません。計量テンソルとは逆行列の関係にあり [続きを読む]