おいらー さん プロフィール

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おいらーさん: 遊びの数学を本気で楽しむ2!!
ハンドル名おいらー さん
ブログタイトル遊びの数学を本気で楽しむ2!!
ブログURLhttp://enjoymath2.blog.fc2.com/
サイト紹介文ふっかぁ〜〜〜つ!!!数学の難問奇問をわかりやすく証明を通して解説していきます。
参加カテゴリー
更新頻度(1年)情報提供166回 / 331日(平均3.5回/週) - 参加 2015/10/25 12:19

おいらー さんのブログ記事

  • 2005年数学オリンピック本選問題 第4問
  • どうも〜〜大変ご無沙汰しておりました〜〜この一年で最大限忙しいこの「確定申告」の時期をどうにか、ばてながらも乗り越えることができました・・・しか〜〜し!!!この一か月間放置していた法人の仕事があるのですよ〜1月に決算を迎えた法人は3月末まで、各種税金を支払わないといけないので、大変です!まぁ、確定申告の期間に比べたら、エピローグ的な感じなので、全然マシです!!これからは、またちょこちょこと数学も進め [続きを読む]
  • 2005年数学オリンピック本選問題 第3問
  • 私は日々、税金の仕事をしてるわけなのですが、この時期、1年で一番忙しい!!それが2月中旬〜3月中旬に行う「ザ・確定申告!!」土日祝も返上で、一か月間休みなしなのです〜なので、ここ最近は更新が遅いです〜〜対称式の問題は基本的にやることは変わらないので、とりあえず式を改造しているうちに解けることが多いです。恒等式の公式や、相加相乗平均があればほとんど解くことができますが、今回は、式の変形だけでできる問題 [続きを読む]
  • 2005年数学オリンピック本選問題 第2問
  • 何かひさしぶりに数学って感じの問題をやった気がします。最近は組み合わせや離散数学系の問題が多かったですからね〜なかなか難しい印象の問題でしたね〜、記号や言葉がたくさん出てきますが、与えられた2変数多項式は抽象的なものなので、ここからできる事って限られるんで、分かることから分かることへ導き出していけば、答えはそんなに難しくなかったのではないかなと思います。星は3つにしときましょ〜難問中難易度☆☆☆【問 [続きを読む]
  • 2005年数学オリンピック本選問題 第1問
  • そろそろ、久々の数学オリンピック問題に行きますよ〜〜まずは問題!難問中難易度☆☆☆【問題】表裏の区別のある硬貨が$ small 17 times 17 $の正方形状にすべてを表を上にして並べられている。一回の操作で、縦に連続する5枚の硬貨、横に連続する5枚の硬貨、または斜めに連続する5枚の硬貨を同時にひっくり返す。この操作を何回か繰り返して、すべての硬貨が裏を上にして並んでいる状態にすることはできるか。結構最近、「こうい [続きを読む]
  • 15個の相異なる2桁の整数の中の4個の数
  • 前回の記事は19個の相異なる整数の中の4つの整数についてでしたが、これが15個の相異なる整数の中の4つの数ならどうでしょう?前回も発想的には非常に難しかったけど、今回はさらに難しいですね〜単発の問題だと何も思わない所ですが、2問連続で解くと、自分的には鳩の巣原理をとことん追い込んだ非常にインパクトのある良問に見えてきます。是非とも、前回の問題を見た後に、見てほしい問題ですね。前回の記事はこちら「19個の相 [続きを読む]
  • 19個の相異なる2桁の整数の中の4個の数
  • このところ、離散数学系の問題が多かったので、なんか久しぶりに数式っぽいの見たような気がするのは気のせいでしょうか〜でも今回の問題も鳩の巣原理を使った問題ですねこれも、難問でした難問中難易度☆☆☆☆【問題】19個の相異なる2桁の整数が与えられたとき、必ずその中にある4個の数$ small a,b,c,d $が$ small a + b = c + d $をみたすことを示せ。2つの2桁の整数の和がとりうる値は一番小さいもので$ small 10 + 11 = 21 $ [続きを読む]
  • 5×6のタイルで敷き詰めるには?
  • 今回のタイル問題は、組み合わせ論の中でも基本の部類に入るのではないかと思います。でも、この考え方は基本なので覚えておくといいんじゃないでしょうか。難問中難易度☆☆☆【問題】$ small 5 times 6 $の形をしたタイルを敷き詰めて、次のサイズの長方形を作ることはできるか。もちろん、重ねたりはみだしたりしてはいけない。 (1) $ small 30 times 17 $  (2) $ small 30 times 19 $  (3) $ small 40 times 45 $ 【証明 [続きを読む]
  • 算数ゲーム 〜100を先に言ったら勝ち〜
  • かなり、難解な証明になっちゃいましたかね〜〜こういう問題はやはり、難解な数式や公式などの記憶が頼りの問題ではなく、考えれば誰でも解けるというところが魅力です。ってことは、こういう問題を見て「自分は数学嫌いだもん」っていう人ははなから問題を諦めてることになってしまいます。それだとどんな教科のどんな難問もとけませんね〜〜残念難問中難易度☆☆☆☆☆【問題】A君とB君が次のようなゲームをする。交互に$ small [続きを読む]
  • n枚のカードのシャッフル
  • この問題はなかなか簡単な方だったんじゃないでしょうか?難問中難易度☆☆☆☆【問題】1から$ small n $までの異なる数字の書かれた$ small n $枚のカードが数字が上に見えるように重ねられている。これをカードの山と呼ぶ。このカードの山の一番上にあるカードの数字の枚数だけ、上からカードをとり、その順番を上下逆にしてカードの山に戻す。そして、一番上に1がくればこの操作を終了する。このとき、最初にどのようなカードが [続きを読む]
  • 20個の整数の和がゼロ
  • 今回は鳩の巣原理の応用問題鳩の巣原理自体は当たり前のことなので簡単だが、簡単なものほど使うのが難しい。鳩の巣原理を使った証明は、証明を見ると簡単に見えるのですが、証明を思いつくまでがとても難しいのです。数学は、こういう発想を教育させるものであってほしいと思いますね〜〜難問中難易度☆☆☆☆【問題】20項からなる整数列$ small { a_{ i } } ( 1 le i le 20 ) $は次の条件をみたす。 $ small (1) left| a_{ i [続きを読む]
  • 正方形の中の2つの正方形
  • 非常に面白い問題ないだろうか。何とか、ベクトルなり複素数なり座標幾何なりでシコシコと解いても解決できそうだが、問われてる発想がなかなかいいじゃないかと思う問題。でもかなり難問難問中難易度☆☆☆☆【問題】一辺の長さが$ small a $の正方形に、一辺の長さが$ small b,c $の正方形が重ならないように入っている。このとき、$ small a ge b+c $が成り立つことを示せ。図にすると初め、複素数平面上の点て考えようと思いま [続きを読む]
  • 無限の碁石
  • 途中に設問さえあれば、難関大学で出題されてもおかしくないレベルではないかなと思います。難問中難易度☆☆☆【問題】図のように、碁石が無限に並んでいて、一番上だけが黒石である。次の操作を繰り返すとき、どう操作しても、上から4段目までのどこかに、必ず黒石が残ることを示せ。操作:左下も右下も白石であるような黒石を選び、それを白石に変えて、左下右下を黒石に変える。【証明】上から$ small n $段目にある黒石の数を [続きを読む]
  • 2005年数学オリンピック予選問題 第12問
  • 普通に学校で勉強していて、普通に数学を学んでいるだけでは非常に難易度が高いのが「離散数学」離散数学は、数学という解法を使って解くのではなく、数学的思考でもって解くので、得意な人がなかなかいない。僕は、こういう問題結構好きだったりします。強いて解法というなら、グラフ理論だとか集合といった概念的なジャンルが解法になるので、あまり、こういった分野は学校では学ばないので、そういったところも得意の人が少ない [続きを読む]
  • 2005年数学オリンピック予選問題 第11問
  • 計算が異常といっていいほどややこしくて、なかなか正解にたどり着かず、更新が遅くなっちゃいました・・・難問中難易度☆☆☆☆【問題】各辺の長さが$ small BC = 12 , CA = 11 , AB = 5 $の三角形$ small ABC $がある。0より大きく1より小さい実数$ small k $に対して・辺$ small BC $を$ small k : 1-k $に内分する点を$ small P_{ 1 } $、$ small 1-k : k $に内分する 点を$ small P_{ 2 } $ ・辺$ small CA $を$ small 6 : [続きを読む]
  • 2005年数学オリンピック予選問題 第10問
  • そろそろ、数学オリンピック予選問題も少しずつ頭を悩ますものがでてきました。通常、5,6問目あたりからやや難しくなってくるのですが、今回はスローペースですね〜〜でも、ぶっちゃけいつもの10問目よりはだいぶ易しいと思う。難問中難易度☆☆☆【問題】正整数$ small n $の各桁の和を$ small S(n) $で表す。例えば$ small S(611)=6+1+1=8 $である。3桁の正整数$ small a,b,c $が$ small a+b+c = 2005 $をみたしながら動くとき、 [続きを読む]
  • 2005年数学オリンピック予選問題 第9問
  • これも簡単でした。難問中難易度☆☆【問題】正五角形$ small ABCDE $の内部に$ small angle ABP = 6^{ circ } , angle AEP = 12^{ circ } $となるような点$ small P $をとる。このとき、$ small angle PAC $の大きさを求めよ。【証明】正五角形$ small ABCDE $の外部に$ small triangle AEF $が正三角形になるように点$ small F $をとる。$ small angle BAF = 108^{ circ } + 60^{ circ } = 168^{ circ } $また$ small AB = AF $ [続きを読む]
  • 2005年数学オリンピック予選問題 第8問
  • 数学オリンピックの中盤の問題といえば、なかなか頭を悩ますものが多いですが、今回はここで簡単な問題がきました。途中で落とすパターンですね・・・難問中難易度☆☆【問題】7つの席に区切られた長椅子に、7人が人が1人ずつ来て座る。ただし、他人と隣りあわない席が残っているうちは、どの人も他人の隣には座らない。席が埋まってゆく順は何通りあるか。【証明】何人目かの人が座りに来たとき、他人と隣り合わない席がはじめて [続きを読む]
  • 2005年数学オリンピック予選問題 第7問
  • 問題そのものは非常に簡単な割に、意外にてこずった人が多いのではないかなと思います。難問中難易度☆☆☆【問題】50以下の正整数$ small n $で次の条件をみたすものはいくつあるか。$ small a^{ 2 } - b^{ 2 } = n $をみたす0以上の整数$ small a,b $がただ一組存在する。例えば$ small n = 10 $ならば$ small a^{ 2 } - b^{ 2 } =( a+b )( a-b ) = 10 $なので$$ ( a+b , a-b ) = ( 1,10 ) , ( 2,5 ) , ( 5,2 ) , ( 10,1 ) $$で [続きを読む]
  • 2005年数学オリンピック予選問題 第6問
  • 相加相乗平均は、非常に変形しやすくあらゆる場面で使われる定理なので、必須です。ただ、もちろんそのまんま使わせてくれるほど数学オリンピックは甘くないので、変形のコツをつかめるようにすれば、かなり汎用性がありますね難問中難易度☆☆【問題】実数$ small a,b $が$ small a+b=17 $をみたすとき、$ small 2^{ a } + 4^{ b } $の最小値を求めよ。【証明】3つの数の相加相乗平均を使う$$ frac{ x+y+z }{ 3 } ge sqrt[3]{ xyz [続きを読む]
  • 2005年数学オリンピック予選問題 第5問
  • なかなかいい問題ですね〜基本的に数学の証明において、目星をつけるというのは基本中の基本です。「大体こんな感じだな〜〜」と思ったら、もう後は突っ込むのみという良問です。難問中難易度☆☆☆【問題】積が和の12倍に等しいような、相異なる3つの正整数の組は何通りあるか。ただし、「3と6と18」と「6と3と18」のように順番を並べ替えただけの組は同じものとみなし、1通りと数える。証明に入る前に、少し目星をつけておきたい [続きを読む]
  • 2005年数学オリンピック予選問題 第4問
  • こんな問題を見ると、学生時代、密かに確率というジャンルがものすごく得意だったのを思い出します。実は学生時代の私は、ベクトルだとか複素数だとか確率といった、結構苦手の人が多い分野が得意だったという偏屈な野郎でした・・・センター試験の時も迷わず確率を選びました。何を隠そう実はわたくし、センター試験の数学は満点でした(ちょっとした自慢)難問中難易度☆☆【問題】1から6までの目が等確率で出るさいころを6回振 [続きを読む]
  • 2005年数学オリンピック予選問題 第3問
  • 幾何の問題ってのは、与えられた図形にキーとなるような点、線、図形を一つ加えれば、あっという間に解ける問題がほとんど。そのキーが見つけられるかどうかで、段違いにかかる解ける時間も変わります。この問題は、そのキーが見つけやすかったんではないかと思います。難問中難易度☆☆【問題】$ small OA = 2 , OP = a , angle AOP = 90^{ circ } $なる直角三角形$ small AOP $の辺$ small OA $の中点を点$ small B $とする。 [続きを読む]
  • 2005年数学オリンピック予選問題 第2問
  • 2問目も簡単な問題点と距離の公式は必須の公式ですね〜〜結構よく使います難問中難易度☆【問題】直線$ small l : 4x+3y = 1 $上にない格子点と$ small l $上の点との距離としてありうる値の内、最小のものを求めよ。ただし、格子点とは$ small x $座標と$ small y $座標がともに整数であるような点である。【証明】点と直線の距離の公式を利用する。$ small l $と格子点$ small P( a,b ) $との距離を$ small d $とすると$$ d = fr [続きを読む]
  • 2005年数学オリンピック予選問題 第1問
  • さてさて、久しぶりに数学オリンピックをはじめてみよ〜〜2005年!スタート!!!難問中難易度☆【問題】3で割ると2余り、5で割ると3余る2桁の整数はいくつあるか。これくらいな力技で解いてもさほど時間かかりませんが、連立合同式で解いていきます。こちらの方が汎用性があります。【証明】begin{eqnarray*}left{ begin{array}{l}x equiv 2 pmod{ 3 } x equiv 3 pmod{ 5 } end{array} right.end{eqnarray*}においてbegin{eqnarra [続きを読む]
  • 各辺の長さが1の凸五角形
  • では、ここで幾何の問題をひとつ幾何といえば幾何っぽい、でも、思考自体はあまり幾何っぽくないイメージではないでしょうか?難問中難易度☆☆☆☆☆【問題】凸五角形で各辺の長さが1であるものを考える。このとき、一片の長さが1である三角形を、この五角形からはみ出さないよう必ず置くことができることを示せ。これぞ、まさにとっかかりがわかりにくい問題といえるのでは・・・間違いなく難問です【証明】まずは補題を設定する [続きを読む]