jurupapa さん プロフィール

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jurupapaさん: Maximaで綴る数学の旅
ハンドル名jurupapa さん
ブログタイトルMaximaで綴る数学の旅
ブログURLhttp://maxima.hatenablog.jp/
サイト紹介文数式処理システムMaxima/Macsymaを使って、数学を楽しみましょう。Maxima入門あり。
参加カテゴリー
更新頻度(1年)情報提供33回 / 365日(平均0.6回/週) - 参加 2012/12/30 12:28

jurupapa さんのブログ記事

  • -数学- ガロア群の計算とSagemath, Pari/GP, GAP,,,
  • ガロア群の計算、というトピックで調べると多くの数式処理システムで専用のコマンドが実装されていることがわかります。Sage (Sagemath), Pari/GP, GAPなどは群論が実装されており、専用のコマンドでガロア群を計算出来るようです。Sagemathを使って( x^4-x^2-1 )のガロア群を計算する方法の一例は以下の通りです。R. = PolynomialRing(QQ)f=x^4-x^2-1G=f.galois_group(pari_group=True)print(G)print(G.permutation_group().list( [続きを読む]
  • -数学- ガロア群計算の体論的な意味
  • これはパピヨンではないです。今回行ったことを普通の体論で考えるとどうなるのでしょうか。以下の2つを参考にしながら以下にまとめてみました。ガロアの時代 ガロアの数学〈第2部〉数学篇 (シュプリンガー数学クラブ)作者: 彌永昌吉出版社/メーカー: シュプリンガー・フェアラーク東京発売日: 2002/08メディア: 単行本 : 6回この商品を含むブログ (11件) を見るガロア理論作者: ジョセフロットマン,Joseph Rotman, [続きを読む]
  • -数学- 命題I, ガロア群の計算
  • 命題Iでは与えられた方程式の解(alpha, beta, gammaldots)がm個ある場合、根の置換の群で以下の2つの性質を持つものがあるとしています:(1)その群の置換で値の変わらない根の関数が有理的に表されること、(2)有理的に表さられる根の関数はこの群の置換で変わらない。そしてその群を置換群として具体的に構成する方法が述べられています。前回までの成果((alpha, beta, gamma)がVの整式で表されたこと)を使うと、V1〜V6をVの整 [続きを読む]
  • -数学- 補助定理III, ガロア群の計算
  • 補助定理IIIでは、全ての根(alpha, beta, gammaldots)が補助定理IIで導入したVの有理関数f(V)として表されることを述べています。また証明として実際に有理関数f(V)を構成する方法が述べられています。補助定理IIで導入したVは(alpha, beta, gamma)の一次結合で表されています。これを逆転して各根(alpha, beta, gamma)をVの有理関数で表そうというのです。(alpha)をVの有理関数で表すのであれば、まずVと(alpha)の式を作りま [続きを読む]
  • -数学- 補助定理IV, ガロア群の計算
  • [1]方程式のガロア群の求め方 ? 五次元世界の冒険の順番に従い、先に補助定理IVの計算を行います。補助定理IVでは、補助定理IIのVが満たす方程式の作り方を示し、Vの最小多項式を求める方法を示します。またVに現れる根の置換によって得られる値V1(=V), V2, V3,,,でVの最小多項式の根になっているものをV, V', V'',,,とすると、f(V)((=alpha))だけでなく、f(V'), f(V''),,,も元の方程式の根になることを述べています。V(これはp1 [続きを読む]
  • -その他- The MaximaList ブログ
  • 時々、Google検索で maxima cas blogとかmaxima macsyma 2017など適当に検索しています。Maximaについてのブログや掲示板を見つけるためです。今日は新しい収穫がありました。皆さんご存知かもしれませんが、というサイトを見つけました。「Maximaで数学する人のためのサイト」です。2016年から始まり、現在も更新が続いています。MaximaやwxMaximaの使い方の記事、主に微分積分や微分方程式など解析的な数学、グラフ、特に非 [続きを読む]
  • -数学- 補助定理II, ガロア群の計算
  • 補助定理IIでは、与えられた方程式の根(alpha, beta, gammaldots)の一次結合(V=A,alpha+B,beta+C,gamma+cdots)を作り、一次結合に現れる根の全ての置換でVの値が異なるようにすることが出来る、と述べています。これ、深い意味があるようでないようで、わかりにくい定理です。そもそも値が一致するように係数A, B, Cを選ぶ方がよっぽど難しい気がします。一方、値が異なっていることを示すことが必要ですが、そちらは次回にやりま [続きを読む]
  • -数学- ガロア群の計算の流れ
  • ガロアの時代 ガロアの数学 第二部 数学篇 (シュプリンガー数学クラブ)作者: 彌永昌吉出版社/メーカー: 丸善出版発売日: 2012/06/05メディア: 単行本(ソフトカバー)この商品を含むブログを見るこの本の第3章にフランス語から著者が翻訳したガロアの原論文が掲載されています。この論文を日本語で読める、というのは本当に素晴らしいことです。「方程式が根号で解けるための条件についての論文」エヴァリスト・ガロア , Ec [続きを読む]
  • -数学- ガロア群の計算、初めに
  • 昔からガロア理論の本を読んで、不満に思うことがありました。それは、ガロア群の具体的な求め方です。方程式の係数だけが分かっていて、解は分からない前提の議論のはずなのですが、大抵の本では、ガロア群の具体的な例は、方程式を解いてからそれらの解の置換群、あるいは体自己同型写像を求めるのが通例であるという事実です。これでは解けている方程式は良いですが、解けない方程式や、係数を見ただけでは解けるかどうかわ [続きを読む]
  • -Maxima入門, 数学- n変数の基本対称式をn+1変数の対称式で表す
  • 対称式を基本対称式の多項式で表す、というのはよくあることで、maximaでもそのような計算をするためのパッケージsymがあります。symパッケージを使って対称式をMaximaで取り扱う方法については以前に以下の記事で書きました。上記の記事の例でもそうなのですが、普通は例えば3変数の対称式を3変数の基本対称式の多項式で表す、ということが課題になります。しかし実は3変数(例えば(alpha, beta, gamma))の対称式はそのう [続きを読む]
  • -Maxima入門、数学- 多項式f(x)のmod p(x)での逆元
  • これから引続くいくつかの記事では主に1変数有理係数方程式を扱う予定です。今回は二つの有理係数の多項式p(x)とf(x)が与えられた時、f(x)のmod p(x)での逆元g(x)を求めます。f(x)の逆元g(x)とは、f(x)*g(x)=1 (mod p(x))となるような整数係数の多項式g(x)を指します。ちなみにp(x)が既約であればそのようなg(x)は必ず存在し、計算できます。やって見ましょう。(%o1)でp(x)を定義します。このp(x)は既約です。(%i1) p(x):=x^5-x^2+ [続きを読む]
  • -Android- Maxima on Android 3.1 ベータ版配布開始
  • Maxima on Android 3.1のベータリリースを開始しました。オープンベータ配布ですので、どなたでも下記のリンクからベータテストに参加できます。https://play.google.com/apps/testing/jp.yhonda今回の新しい機能は、Load Script Fileメニューです。このメニューからSD カード、ローカルフラッシュ、Google Drive, Dropboxにおいてある.macファイルを指定して読み込むことができます。その他、Maxima 5.40.0に対応し、ほとんど [続きを読む]
  • -その他- 京都大学数解研の本
  • 本屋さんで古都がはぐくむ現代数学: 京大数理解析研につどう人びと作者: 内村直之出版社/メーカー: 日本評論社発売日: 2013/11/20メディア: 単行本この商品を含むブログ (8件) を見るという本を見つけたことがあるのですが、最近近くの図書館に所蔵されていることを知り、借りて読みました。京大数解研といえば大学生、院生の頃、謎の研究所として恐れていました。フィールズ賞をとる数学者もいれば、Kyoto Common LispやPro [続きを読む]
  • -数学- 楕円関数に関する参考文献
  • 数論に関係した楕円関数の勉強に適した文献をリストします。今回の楕円関数シリーズにはこれらの本やネット上の資料が非常に参考になりました。楕円関数概観 ―楕円積分から虚数乗法まで―作者: 三宅克哉出版社/メーカー: 共立出版発売日: 2015/06/25メディア: 単行本この商品を含むブログを見る楕円曲線と保型形式作者: N.コブリッツ,上田勝出版社/メーカー: 丸善出版発売日: 2012/07/17メディア: 単行本購入: 1人 : [続きを読む]
  • -数学- 楕円関数、楕円曲線、格子と虚数乗法
  • この楕円関数のシリーズもこれが最終回、今回は虚数乗法です。楕円関数や楕円曲線の本を読んでいると、「虚数乗法を持つ場合とそうでない場合では性質が大きく異なる」という記述がよく出てきます。例えば、佐藤テイト予想は虚数乗法がある楕円曲線では成立しなかったのでした。この虚数乗法の定義もWikipediaや楕円関数、楕円曲線の本、論文などによって異なっているようです。楕円曲線版:楕円曲線(C)が虚数乗法を持つ?(C [続きを読む]
  • -数学- 楕円曲線の加法と複素平面上の(普通の)加法
  • 数論が好きなみなさんはきっと楕円曲線について勉強し、楕円曲線上の加群を知っていることでしょう。楕円曲線上の2点の和は、この2点を結ぶ直線と楕円曲線とが交わる第3の点のx軸対称の点とする、というものです。楕円曲線そのものがx軸対称なので、和の定義の点も楕円曲線に乗ることが分かります。なんだか意味不明なこの定義、どこから来ているのでしょうか。一応上記の定義を式で書くと(概ね)こうなります。P=(xp,yp), Q [続きを読む]
  • -数学- ワイエルストラスのペー関数が満たす微分方程式
  • 楕円関数としてワイエルストラスのペー関数を勉強しています。ペー関数のローラン級数展開を得ることができたので、これを使って、ペー関数の微分、ペー関数の2乗、3乗、ペー関数の微分の2乗の最初のいくつかの項を具体的に求めます。またその結果としてペー関数の満たす有名な微分方程式を求めます。(%i1) 'wp(z,w1,w2)=1/z^2+sum((2*k+1)*z^(2*k)*G[2*k+2](w1,w2),k,1,inf);$$ tag{%o1} wpleft(z , w_{1} , w_{2}right)=frac{ [続きを読む]
  • -数学- 複素関数論の楕円関数への応用
  • 今回はMaximaは使いません。計算がないからです。楕円関数は複素平面上で定義された特定の定義を持つ関数です。いわゆる特殊関数の一つです。複素関数論を勉強すると様々な一般的な結果を学びますが、その一つにリュウビルの定理というものがあります。そして、楕円関数の議論をする際にとにかくよく使われるのです。リュウビルの定理:Cを複素数全体の集合とする。Cで有界かつ正則な関数は定数関数に限る。リュウビルの定理の [続きを読む]
  • -数学- ワイエルシュトラスのペー関数のローラン展開
  • ワイエルシュトラスのペー関数をローラン展開してみます。ローラン展開といっても、(frac{1}{z^2})の項はそのまま、総和の部分をべき級数に展開することになります。ここでも以下の記事で定義したペー関数関連の道具は全て読み込み済みとします。いきなりですが、この有理式のべき級数展開をしてみます。 (%i1) F1:1/(1-x)^2;$$ tag{%o1} frac{1}{left(1-xright)^2} $$powerseries()というコマンドを使います。(%i2) F2:F1=niceind [続きを読む]
  • -数学- ワイエルストラスのペー関数は2重周期関数
  • ペー関数の定義(%o1)をパッとみて、これをzの関数と見たとき、周期が( w_1, w_2 )の2重周期関数だと、簡単に見抜くことはできません。今回はこの2重周期性を証明して見ます。以下のMaximaセッションではペー関数に関する(前回記事で紹介した)定義はすでに読み込み済みです。まずワイエルストラスのペー関数の定義をします。(%i1) wp(z,w1,w2):=1/z^2+clatsumd(1/(z+m*w1+n*w2)^2-1/(m*w1+n*w2)^2,m,n);$$ tag{%o1} wpleft(z , [続きを読む]