pre college math school さん プロフィール

  •  
pre college math schoolさん: 大学までの数学・物理を語ろう
ハンドル名pre college math school さん
ブログタイトル大学までの数学・物理を語ろう
ブログURLhttp://givemetruth.blog.fc2.com/
サイト紹介文受験生中心に数学や物理を30年近く教えてきた。抽象概念も「きちんと分かる」ように、ごまかしません。
自由文受験の準備をする高校生中心に、数学や物理を30年近く指導してきました。
ここには、初学者がつまづいたり疑問をもつところ、指導者側が苦労する点を取り上げて説明してあります。

他にも、PC,linux,mac,texなど仕事に欠かせない道具の紹介なども予定しています。
参加カテゴリー
更新頻度(1年)情報提供21回 / 80日(平均1.8回/週) - 参加 2017/06/21 09:28

pre college math school さんのブログ記事

  • 過去の記事 …
  • 定積分の等式証明について(ダミー変数)
  • 個人的な事情でしばらく更新をお休みしておりました。申しわけございません。これから少しずつ更新していきます。気長にお待ちいただければ幸いです。定積分の等式を証明する問題はとてもよく見かけます。でも、定積分の等式証明は、ふつうの等式を証明するのとはワケが違うんですね。そのお話をしましょう。まず、定積分に現れる積分変数((dx, dt, dy, cdots))というのは、任意に選ぶことができます。つまり、■定積分 [続きを読む]
  • 大学受験と記号論理学(2)〜量化記号( (forall) と (exists) )〜
  • 大学受験と記号論理学の連載第2回です。お待たせしました(誰も待ってないって!?(笑))。今回は、大学受験の問題を論理学の問題に落とし込むときに欠かせない要素になってくる、   「量化記号 (forall) と (exists) 」についてです。別記事数学における「条件」って何だ?において、「条件」という論理学用語について、詳しく説明しましたので、この記事を読まれていない方は先に読んでいただくと良いと思います。さて、 ( [続きを読む]
  • ゼロで割ってはいけないのよ(2)〜微分係数の定義を理解するために〜
  • ゼロで割ってはいけないのよ(1) の続編です。微分係数の定義式[ f'(a)=displaystylelim_{hto 0}dfrac{f(a+h)-f(a)}{h} ]についてのお話です。(dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}) は平均変化率と呼ばれますが、もしも、 (h=0) であるとしたら、この式はまぎれもなく、「ゼロぶんのゼロ」ですね。 (displaystylelim_{hto 0}) は、 (h) にゼロを代入することなんだ! と思い込んでいる(これ自体誤りですが)人にとっては、この微分係数の定義 [続きを読む]
  • ゼロで割ってはいけないのよ(1)
  • 数学で、「ゼロで割る」は禁忌事項であることはよく知られているとはいえ、きちんと説明を受けたことがない学習者もたくさんいるようです。次の問題を考えてみましょう。 (x) の方程式 (ax=b) を解け。この問題に対して、、、、両辺を (a) で割ればよい。だから、 (x=dfrac{b}{a}) …(答)という誤答案しか思いつかないとしたら、この記事にぴったりな人です。その状態では、微分係数の式 (displaystylelim_{hto 0}dfrac{f(x+h)-f [続きを読む]
  • 点と直線の距離の公式(ヘッセの公式)の意味が分かる記事
  • 高校生のときの私は、いずれ別記事にするつもりなんですが、「公式は覚えない、必要なときに作る。」というスタンスでした。問題は難しいのも含めてたくさん解いていたので、  「この問題を解くのにどんな定理や公式が必要になってくるか」についての想像がつくような経験値は割とあったんだと思います。だから、 「必要なときに必要な定理・公式を作る」 といったスタンスでも割といろんな問題を解くことができました。でも、 [続きを読む]
  • (辛口注意)実は不等式には2種類あるんです。
  • 不等式(inequality)は、文字通り等しくないことを表す式で、実数世界では等しくなければ大小がありますから、  (不等式の用法その1) 不等式=大小を表す式ということになります。ところが、不等式には、大小を表すことから派生したと思われる、もう一つの用法があるんです。  (不等式の用法その2) 不等式=実数の値の範囲(集合)を表す式というものです。この2つの用法を無自覚に使用して、論理的に破綻した答案を [続きを読む]
  • 数列の和を求めるには(差分と和分(1))
  • シグマ記号の意味については分かっているものとしてこの記事を書きます。数列の和[ S_n=sum_{k=1}^na_k=a_1+a_2+a_3+cdots +a_n ]を求めるためにするべきことは、■シグマの公式群■1. (displaystylesum_{k=1}^nc=nc)( (c) は定数)   2. (displaystylesum_{k=1}^nk=dfrac{n}{2}(n+1))   3. (displaystylesum_{k=1}^nk^2=dfrac{n}{6}(n+1)(2n+1))4. (displaystylesum_{k=1}^nk^3=left{dfrac{n}{2}(n+1)right}^2)といっ [続きを読む]
  • ベクトルの内積って何?(その3・補足編)〜内積と正射影と垂線の長さ〜
  • ベクトルの内積については、別記事、ベクトルの内積って何?(その0、その1、その2)をお読みください。そこに書いてあることは前提にしてこの記事を書いています。そこでは、、、、、ベクトルの内積 (vec{a}cdotvec{b}) ってのは、 (vec{b}) を、 (vec{a}) と平行なベクトルと垂直なベクトルの和に分解して、平行な方だけ取り出してかけ算することと要約しました。ということは、ベクトルの内積を用いれば、垂直な2つのベクト [続きを読む]
  • 記号論理がどのように大学受験に活きるか? を語る
  • この記事では本ブログで連載をはじめた、「大学受験と記号論理学」の意義を語ります。つまり、「大学受験で記号論理の知識がどのように活きるのか」「どのような問題に記号論理の知識が役立つのか」について語るつもりです。まずは、いくつかの入試問題を例にして(解答はつけませんが)、記号論理学を学ぶ意義について説明してみましょう。北大のこの問題ではどうでしょうか?そもそも、問題文が意味不明、となってしまう人も多い [続きを読む]
  • 大学受験と記号論理学(1)
  • 数学の厳密な論理性を守るためには、  日常語以上の厳密性をもって、他者に伝えることができる表現手法が必要になってくるでしょう。当然、日常語以上の厳密さをもって、使用する用語を厳密に定義します。よく登場する、「かつ」や「または」や「条件」など、日常語でもふつうに利用する言葉についても、数学の世界のそれぞれの用語の意味を、厳密に定義し直します。そのために、真理値表というものが使われます。真であることを [続きを読む]
  • 三角関数の合成は加法定理そのもの!
  • 三角関数の合成は、高校生に大変評判の悪い項目です。結局、よく分からないままに、合成する手順を覚えてしまった生徒、あるいは、学校の先生にまず手順を覚えなさい! と言われて覚えさせられて、、、という生徒もよく見受けます。そこで、詳しく合成の話をしていきますが、まずは、別記事、「三角関数って何なの?(その2)」を読んでからこの記事を読むことをお勧めします。さて、合成とは、「2つの波(正弦波)を重ね合わせ [続きを読む]
  • 条件と集合と同値変形と
  • この記事を読まれる方は、それより先に別記事、 数学における「条件」って何だ? を先に読んだ方がよいかも知れません。 (x) の条件 (p(x)) を満たす (x) の集合(記号で書けば (P=left{x|, p(x)right}) )は、条件 (p(x)) の真理集合と呼ばれます。 (x) の条件 (p(x), q(x)) と、その真理集合 (P, Q) について、次のことが成り立ちます。 「 (p(x)) ならば (q(x)) 」が成り立つとき、 (Psubseteqq Q) が成り立つ。     [続きを読む]
  • (閲覧注意)2倍角公式と同値性〜その2〜
  • この記事は、前記事(閲覧注意)2倍角公式と同値性の続編です。また、この記事を理解するためには、次の記事条件と集合と同値変形ともご覧いただいた方がよいと思います。さて、概略を書けば、(tantheta) から (cos 2theta) を求めるのに、<解法1> (tantheta=3) → 相互関係 → (costheta=pmdfrac{1}{sqrt{10}}) →2倍角公式 → (cos 2theta=-dfrac{4}{5}) と<解法2> (tantheta=3) →2倍角公式→ (tan 2theta=-dfrac{3} [続きを読む]
  • (閲覧注意)2倍角公式と同値性
  • この記事はちょっと、怖い話です。受験生で、あまり柔軟性に自信がない、という方は読み飛ばしたほうがよいかも知れません。次のような問題がありました。 (tantheta =3) のとき、 (cos2theta) の値を求めよ。正しく解くと、【解答】(tantheta=3) より、(cos^2theta=dfrac{1}{1+tan^2theta}=dfrac{1}{10}) となるから、    (costheta=pmdfrac{1}{sqrt{10}})   となる。したがって、[ sintheta=tanthetacostheta=3timesleft(pm [続きを読む]
  • 三角関数の学び方についてのあれこれをとりとめなく語ります。
  • 三角関数は公式がいっぱいですね。あんなの、覚えてられないですよ。いや、正確に言えば、あんだけある公式を、  「まず覚えてくれ」というのは、学習者を馬鹿にしすぎです。少なくともそれは、受験を控えていて点数を取るためにどんなことでもします、という状況に置かれた学習者しか相手にしていない、ある意味で甘えた指導者の発言です(ちょっと言いすぎかな!?)。趣味で数学をやっている人だって、リタイヤして数学を再学 [続きを読む]
  • 整式の合同式(その1)
  • 整数の合同式についてはいずれ書きますが、次のような性質がありました。<合同式の性質(整数編)>(aequiv bpmod{m}, cequiv dpmod{m}) のとき、次の各項が成り立つ。 1. (a+cequiv b+dpmod{m}) 2. (a-cequiv b-dpmod{m}) 3. (acequiv bdpmod{m}) 4. (a^nequiv b^npmod{m}) (ただし (n) は正の整数)合同式を用いると、整数の割り算、とくに余りの問題を考えるのにとても便利でした。そこで、整式についても [続きを読む]
  • ベクトルの内積って何?(その2・完結編)
  • この記事を読まれる方は、内積についての前の2つの記事、  ベクトルの内積って何?(その0)および  ベクトルの内積って何?(その1)を先に読んでください。内積を説明するとき、次のような問題を必ず提示します。(内積を理解するための問題)次の3つの図について、内積 (vec{a}cdotvec{b}) を求めよ。ほとんどの場合、普通の生徒は答えられないようです。内積の定義 (vec{a}cdotvec{b}=|vec{a}||vec{b}|costheta) に [続きを読む]
  • (e):自然対数の底(ネイピア数)って何?(数学III)
  • 自然対数の底(e)、ネイピア数というのは、どうやってでてきたんでしょうか?これは入りくんでいて、整理するのが難しい印象があります。さらには、そもそも(e)がなぜ必要なのか、どういう意味をもつ数なのか、ということについて聞いたことがないという学習者も多いと思うのでここに記しておきます。まず、指数関数(y=a^x)についての導関数を導関数の定義通りに求めようとすると、(f(x)=a^x)とおくと、  (f'(x)=displaystylelim_ [続きを読む]
  • 三角関数って何なの?(その2)
  • 学習者にとって、数学における新しい概念は、たいてい、きわめて抽象的なものであることがほとんどです。ところで、ひとつの概念を定義するとき、「結局同じ内容になるが、いくつか異なる定義の仕方が存在する」というケースが多々あります。高校数学でも、例えば対数(ログ)でも、内積でも、定積分でも、  「結局同じ内容になるのだが、別の仕方で再定義する」ことにより、概念そのものの理解がウンと深まったり、概念の実用性 [続きを読む]
  • 過去の記事 …