bebica さん プロフィール

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bebicaさん: 数学の偏差値を上げて合格を目指す
ハンドル名bebica さん
ブログタイトル数学の偏差値を上げて合格を目指す
ブログURLhttp://math-juken.com/
サイト紹介文高校数学を中心に数検1級などの数学を解説。さらに大学受験突破の勉強テクニックなどを紹介します。
参加カテゴリー
更新頻度(1年)情報提供216回 / 359日(平均4.2回/週) - 参加 2017/07/23 10:39

bebica さんのブログ記事

  • ∫1/sinx dxや∫1/cosx dxの計算
  • 上野竜生です。(int frac{1}{sin{x}}dx , int frac{1}{cos{x}}dx )の計算は今まで通り計算できますがこの2つを2パターンで解いてみたいと思います。( displaystyle int frac{dx}{sin{x}} )方法1: 分母分子にsinxをかけて分母を1-cos2xに直し,t=cosxとおく。最も思いつきやすい方法ですし,いろいろな積分のテクニックを使います。実際に計算してみます。( displaystyle int frac{dx}{sin{x}} = int frac{sin{x}dx}{sin^2{x}}=i [続きを読む]
  • 立方体を対角線まわりに1回転させてできる回転体の体積
  • 上野竜生です。入試問題の中ではかなりの難問とされる立方体の回転体の問題を解説します。難関大学受験者以外は理解できなくても十分でしょう。今回考える問題1辺がaの立方体を対角線を軸に1回転させてできる回転体の体積を求めよ。(立方体の対角線とは最も遠い2つの頂点を結ぶ線分のことで長さは( sqrt{3}a )です。まずは座標設定することが第一歩なので座標設定して問題を書きなおしてみます。O(0,0,0),A1(a,0,0),A2(0,a,0),A3(0 [続きを読む]
  • 単純な置換積分ならわざわざ置換する必要なし
  •  上野竜生です。ある程度置換積分に慣れてきた人にとってわざわざ何をtとおくか明記して・・・というのは面倒ですね。ある程度単純なものは置換するまでもない積分があります。実際に見てみましょう。例題1 不定積分次の不定積分を求めよ。( displaystyle int x(x^2+3)^3 dx )慣れるまでは( t=x^2+3 )とおくと( frac{dt}{dx}= 2x )ゆえに( displaystyle int frac{1}{2} t^3 dt = frac{1}{8}t^4+C=frac{1}{8}(x^2+3)^4+C )(C [続きを読む]
  • 定積分を含む関数漸化式
  • 上野竜生です。定積分を含む関数漸化式の解き方を紹介します。今回は例題1つだけなので解説することは少な目です。 例題関数列fn(x)はすべてxの1次関数で次の漸化式を満たす。fn(x)を求めよ。(f_1(x)=3x+1, displaystyle xf_{n+1}(x)=5x+6int_{0}^{x} f_n(t) dt )このタイプの問題は関数として漸化式を解きたくなりますがそれだとなかなかうまくいきません。なぜならtの積分と1の積分では係数が異なってくるので積分後の関数をf [続きを読む]
  • 今週の問題 問25 答え
  • 上野竜生です。問25の答えを発表します。問25( displaystyle f(x)=frac{1}{x-1} , g(x)=frac{1}{x-2} )とおく。(1) ( f^{(n)}(0) )を求めよ。つまりf(x)をn回微分したものにx=0を代入した値を求めよ。(2) (h(x)=f(x)g(x))とおく。(h^{(n)}(0))を求めよ。 答え(1) ( f^{(n)}(x)=(-1)^n n! (x-1)^{-(n+1)} )であることを数学的帰納法で示す。n=1のとき成立(省略)n=kで成立すると仮定すると帰納法の仮定より( f^{(k)}(x)=(-1)^k [続きを読む]
  • 今週の問題 問26
  • 問題 (★)問26 次の空欄を埋めてください。センター試験のようにカタカナ1文字に数字1つが入ります。円周上に点A,X,B,C,Dがこの順で反時計回りにある。弦ACと弦BDは垂直に交わり,交点をEとする。AE=アイ,BE=ウエ,CE=オ,DE=カキとする。このとき「円と線分AE,EDで囲まれた部分のうちXを含まないほう」と「円と線分BE,ECで囲まれた部分のうちXを含まないほう」の面積の和はクケπ?コサとなる。なお,πは円周率である。 答えが [続きを読む]
  • 高次式の値は割り算をして次数を下げよ!
  • 上野竜生です。√を含む複雑な式の代入は地道に計算する必要がありません。割り算の余りを使った解法がありますので紹介します。 例題1( alpha=frac{1+sqrt{5}}{2} )のとき,( alpha^3+alpha^2+3alpha )の値を求めよ。まずは地道に解いてみます。(displaystyle alpha^2 = frac{6+2sqrt{5}}{4}=frac{3+sqrt{5}}{2} )(displaystyle alpha^3= frac{3+sqrt{5}+3sqrt{5}+5}{4}=2+sqrt{5} )より(displaystyle 2+sqrt{5}+frac{3+sqrt{5}} [続きを読む]
  • パップス・ギュルダンの定理(回転体の体積の裏技)
  • 上野竜生です。回転体の体積を求める方法の裏技,パップスギュルダンの定理を紹介します。検算に使う程度にし,できる限り記述の試験では使わないようにします。 パップスギュルダンの定理回転体の体積=回転させる面積×重心の移動距離一般的な図形の「重心」が高校範囲で定義されていないので一般の証明はできません。ですがある程度「重心」がわかる図形もあると思います。そういう図形にのみ有効な公式です。 重心がわかる代表 [続きを読む]
  • 2つの円の交点を通る直線や円の方程式
  • 上野竜生です。2つの円の交点を通る直線・2つの円の交点ともう1つの点を通る円の方程式を求める問題を解説します。地道にも解けますが計算量を減らす重要な考えなので読んでおきましょう。 今回学ぶことf(x,y)=0, g(x,y)=0はともに円の方程式とする。(たとえばx2+(y-1)2=9だとすれば9を移項してf(x,y)=x2+(y-1)2-9とすれば良い。)f(x,y)=0とg(x,y)=0が異なる2点A,Bで交わるとき,kを定数としてf(x,y)+kg(x,y)=0という方程式はA, [続きを読む]
  • 弦の長さ(図形の式から計算する方法)
  • 上野竜生です。円と直線の式が与えられていて(円と2点A,Bで交わる),弦ABの長さを求める問題の解き方を紹介します。 今回扱う例題円(x-1)2+(y-2)2=2と直線y=3x-2は2点A,Bで交わる。弦ABの長さを求めよ。このタイプの解法は2つあります。どちらも重要なので両方で解きましょう。解法1 解と係数の関係・直線の傾きを利用最もわかりやすいのではないでしょうか。直線の式を円の式に代入するとxの2次方程式になります。これの [続きを読む]
  • 2つの線分の長さの和の最小値
  • 上野竜生です。折れ線の長さの和の最小値を求める問題は試験でよく出ます。定石を知らないと膨大な計算量になるので知っておきましょう。例題1A(0,1), B(6,2)がある。x軸上に点Pを、線分の長さの和AP+PBが最小となるようにとる。Pの座標とそのときのAP+PBを求めよ。地道に計算すると次のような答えになります。P(t,0)とおくと( AP=sqrt{t^2+1} , PB=sqrt{(t-6)^2 +4}=sqrt{t^2-12t+40} )なので( f(t)=sqrt{t^2+1}+sqrt{t^2-12t+40 [続きを読む]
  • 今週の問題 問24 答え
  • 上野竜生です。問24の答えを発表します。問24mは整数,xを実数とするときxCmを次のように定める。( displaystyle {}_{x}C_{m}=frac{x(x-1)(x-2) cdots (x-m+1)}{m!} )このとき次の式がxの恒等式となるような定数a,b,c,d,e,fの値を定めよ。( x^5 = a {}_{x}C_{5} +b{}_{x}C_{4}+c{}_{x}C_{3}+d{}_{x}C_{2}+e{}_{x}C_{1}+f ) 答え数値代入法x=0を代入すると0=fx=1を代入すると1=e+f ∴e=1x=2を代入すると32=d+2e+f ∴d=30x=3を代入 [続きを読む]
  • 今週の問題 問25
  • 問題 (★)問25( displaystyle f(x)=frac{1}{x-1} , g(x)=frac{1}{x-2} )とおく。(1) ( f^{(n)}(0) )を求めよ。つまりf(x)をn回微分したものにx=0を代入した値を求めよ。(2) (h(x)=f(x)g(x))とおく。(h^{(n)}(0))を求めよ。 答えがわかった方は下の解答フォームから応募してください。(コメント欄ではありません)[contact-form-7] 約2週間程度で締め切ります(締め切り :7/5 23:59予定) 正解者一覧現在正解者0名1さま2 [続きを読む]
  • 偶関数・奇関数の積分
  • 上野竜生です。偶関数と奇関数の定積分は簡単に計算できるものもあります。それを紹介します。偶関数・奇関数とは偶関数とはf(-x)=f(x)が成り立つものです。y軸について対称となります。奇関数とはf(-x)=-f(x)が成り立つものです。原点について対称となります。多項式だけに限定すれば(n≧0)f(x)=xnが偶関数 ⇔ nが偶数f(x)=xnが奇関数 ⇔ nが奇数となります。偶関数・奇関数の定積分積分区間が-aからaまでという風に対称で [続きを読む]
  • 4次関数の2重接線の方程式と囲まれた部分の面積
  • 上野竜生です。昔は数IIの微分が3次関数までだったので4次関数に関する知識はあまりいらなかったのですが最近は4次以上も扱うようになってきました。3次以下になくて4次関数にある特徴の1つに二重接線があります。その求め方と面積の裏技を紹介します。 二重接線とは?1つのグラフに対し2か所で接する直線のことです。通常「接する」ときは接点をx=αとして(x-α)2を因数にもちます。二重接線の場合それが2つあるのですからx=α, [続きを読む]
  • 単位円に内接する正n角形の1つの頂点から他の頂点にひいた線分の積
  • 上野竜生です。今回は複素数平面の応用として半径1の円に内接する正n角形の1つの頂点から他の頂点にひいた(n-1)本の線分の長さの積を求めます。 まずは事実を述べます。主張半径1の円の円周上にn個の点A0,A1,A2,・・・An-1を,多角形A0A1A2・・・An-1が正n角形になるようにとる。また1≦k≦n-1に対し,ℓkを線分A0Akの長さとする。このとき積ℓ1ℓ2・・・ℓn-1=nである。すごい結果ですね。これを証明します。 証明半径1の円を単位 [続きを読む]
  • 連続n整数の積は何の倍数?
  • 上野竜生です。連続n整数の積が○の倍数であることはよく使います。実際に確認してみましょう。なお,基本的には結果だけ覚えればいいでしょう。 連続2整数の積n×(n+1)は必ず2の倍数になる。[証明]nが偶数ならnが2の倍数なのでn(n+1)は2の倍数。nが奇数ならばn+1が2の倍数なのでn(n+1)は2の倍数。よってn(n+1)は2の倍数。 以下では単純に「n, n+1の中に2の倍数のものがあるからn(n+1)が2の倍数」という風に証明していきます。連続 [続きを読む]
  • 三角関数の直交性(sinnxcosmxの積分)
  • 上野竜生です。基本的な積分計算はできるようになった人のための応用例として三角関数の直交性を紹介します。本格的にやると大学で習うレベルですが簡単な例だと高校範囲で十分できるので入試にもたまに出ます。 三角関数の直交性問題:n,mを整数とする。次の積分の値を求めよ。(1) (displaystyle int_0^{2pi} sin{nx}cos{mx} dx )(2) (displaystyle int_0^{2pi} sin{nx}sin{mx} dx )(3) (displaystyle int_0^{2pi} cos{nx}cos{mx} [続きを読む]
  • 今週の問題 問23 答え
  • 上野竜生です。問23の答えを発表します。問23整数の数列( a_n, b_n, c_n )を( (1+sqrt[3]{2})^n = a_n + b_n sqrt[3]{2}+c_nsqrt[3]{4} )で定める。(1) 整数の数列(d_n,e_n,f_n)を( (1+sqrt[3]{2}omega)^n = d_n + e_n sqrt[3]{2}omega + f_n sqrt[3]{4}omega^2 )で定めるとき( a_n=d_n , b_n=e_n , c_n=f_n )が成立することを示せ。ただし( omega )は1の3乗根のうち1でないものの1つとする。(2) ( a_n)の一般項を求めよ。 答え(1) [続きを読む]
  • 今週の問題 問24
  • 問題 (★)問24mは整数,xを実数とするときxCmを次のように定める。( displaystyle {}_{x}C_{m}=frac{x(x-1)(x-2) cdots (x-m+1)}{m!} )このとき次の式がxの恒等式となるような定数a,b,c,d,e,fの値を定めよ。( x^5 = a {}_{x}C_{5} +b{}_{x}C_{4}+c{}_{x}C_{3}+d{}_{x}C_{2}+e{}_{x}C_{1}+f ) 答えがわかった方は下の解答フォームから応募してください。(コメント欄ではありません)[contact-form-7] 約2週間程度で締め切ります [続きを読む]
  • 三角形の面積の三角比を用いた公式
  •  上野竜生です。三角形の面積を三角比で解く方法について考えていきたいと思います。 三角形の面積の公式 2辺の長さがa,bでその間の角がθである三角形の面積をSとするとき( S=frac{1}{2} ab sin{theta} )[証明]bsinθは底辺をaと見たときの三角形の「高さ」であるから底辺×高さ÷2の三角形の面積の公式に当てはめれば得られる。 具体的な問題で練習しましょう。「2辺とその間の角」以外の情報しかわからない場合はまず三角形の [続きを読む]
  • 三角形の成立条件と鋭角・直角・鈍角三角形の判定
  • 上野竜生です。3辺の長さが与えられたとき三角形が成立するのか,成立するなら直角三角形か鋭角三角形か鈍角三角形かを判定することについて考えましょう。言葉の意味鋭角三角形:すべての角が鋭角(90°未満)である三角形直角三角形:1つの角が直角(90°)である三角形鈍角三角形:1つの角が鈍角(90°より大きい)三角形 暗黙の了解と使う知識の確認以下では三角形の3辺の長さをa,b,c(a≦b≦c)とする。知識:余弦定理( displayst [続きを読む]
  • 三角形の辺や角が与えられたとき残りの辺や角を求める方法
  •  上野竜生です。三角形の辺や角が3つわかれば基本的に残りの3つも計算できます。その求め方をすべてのパターン網羅して考えます。暗黙の了解三角形ABCにおいて∠Aや∠B,∠Cを単にA,B,Cとし,aは辺BCの長さ,bは辺CAの長さ,cは辺ABの長さとする。使う定理<正弦定理>三角形ABCの外接円の半径をRとするとき次が成り立つ。( displaystyle 2R=frac{a}{sin{A}}=frac{b}{sin{B}}=frac{c}{sin{C}} ) ( displaystyle cos{A}=frac{b^2+c^2 [続きを読む]
  • 三角形の内接円の方程式の求め方
  • 上野竜生です。三角形の内接円の方程式の求め方を紹介します。 三角形の内接円の方程式を求める3つの考え内接円の性質を利用します。 1) 3つの内角の2等分線の交点が内心である。2) 内心から辺までの距離(=内接円の半径)が等しい→点と直線の距離の公式が使える3) 三角形の面積の表し方を2通りで表し,内接円の半径を求める。 内角の2等分が明らかな時は1)を使うこともありますが,明らかでないとき立式するには2 [続きを読む]
  • 数I 絶対値のついた不等式の解き方
  • 上野竜生です。絶対値のついた不等式の解き方を紹介します。絶対値を外す段階での場合分けと解いた不等式をまとめることが重要です。 |f(x)|≦g(x)(関数)のとき絶対値の外し方の基本通り解きます。|f(x)|はf(x)≧0のときf(x),f(x)f(x)≧0のときf(x)≦g(x)f(x)のとき-f(x)≦g(x)を解けばOKです。等号がついていなかったり,不等号の向きが逆でも同様です。太字の不等式を解く必要があります。3回(f(x)≧0とf(x)例題1:|x-2|f(x) [続きを読む]