大 さん プロフィール

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大さん: A4の宇宙
ハンドル名大 さん
ブログタイトルA4の宇宙
ブログURLhttps://a4.hateblo.jp/
サイト紹介文数学と物理をA4ノートに収まる範囲で詳しくやるブログです。
自由文数学と物理をA4ノートに収まる範囲で詳しくやるブログです。
参加カテゴリー
更新頻度(1年)情報提供25回 / 28日(平均6.3回/週) - 参加 2018/11/11 10:30

大 さんのブログ記事

  • 過去の記事 …
  • 自由落下運動 - 空気抵抗有無の比較1
  • これまでに導いた空気抵抗無しと有りの2つの自由落下運動を比較してみよう。導いた式を再度書き出す。ここでは落下物の速度、は位置、は重力加速度、は時間、は空気抵抗係数、は任意定数である。いずれも上方向(重力と逆方向)をとしていることに注意。一般解空気抵抗なし速度begin{eqnarray}v=-gt+v_0 tag{1}end{eqnarray}位置begin{eqnarray}x=-frac{1}{2}gt^2+v_0t+x_0 tag{2}end{eqnarray}空気抵抗有り速度begin{equation [続きを読む]
  • 自由落下運動 空気抵抗あり2
  • 速度の一般解(再掲)前回、空気抵抗があるときの自由落下速度の一般解を求めた。begin{equation}v=C_1exp{left(-frac{kt}{m}right)}-frac{mg}{k}end{equation}ここでは任意定数、は空気抵抗係数、は時間、は落下する物体の質量、は重力加速度であった。位置の一般解速度の一般解の両辺をでさらに積分し、位置の一般解を求めることができる。begin{eqnarray}int v dt&=&int C_1exp{left(-frac{kt}{m}right)}dt-int frac{mg}{k} dtx [続きを読む]
  • 自由落下運動 空気抵抗あり1
  • 物体が落下する時、どのような速度でどのような軌道をたどるかを微分方程式から導く。空気抵抗なしバージョンは以前やったので、今回はありバージョンを計算する。まずは運動方程式を書く。物体の質量を、物体の加速度を、物体に働く力をとおく。begin{eqnarray}ma=fend{eqnarray}物体には重力による引力と空気抵抗が働くとする。重力加速度をとすると、上方向をとして引力はである。空気抵抗力は速度に比例して強くなり、その [続きを読む]
  • 自由落下運動を微分方程式で解く
  • 物体が落下する時、どのような速度でどのような軌道をたどるかを微分方程式から導く。今回は空気抵抗を無視することにする。 まずは運動方程式を書く。物体の質量を、物体の加速度を、物体に働く力をとおく。begin{eqnarray}ma=fend{eqnarray} 物体には重力による引力だけが働くとする。重力加速度をとすると、上方向をとして引力はである。これを右辺のに代入する。begin{eqnarray}ma&=&-mga&=&-gend{eqnarray} 加速度は位置を時 [続きを読む]
  • ヒポクラテスの定理
  • 図のように、直角三角形ABC、辺ABを直径とする半円、辺BCを直径とする半円、辺CAを直径とする半
    円がある。図の青い領域の面積はいくつか??ABCの面積と3つの半円の面積を計算する。begin{eqnarra
    y}S_1&=&frac{CA times BC}{2}S_2&=&frac{1}{2}pileft(frac{AB}{2}right)^2S_3&=&frac{1}{2}pileft(frac{BC}{2}right)^2S_4&=&frac{1}{2}pi
    left(frac{CA}{2}right)^2end{eqnarray}計算を進める。begin{eqnarray}S_1&=&frac{CA cdot [続きを読む]
  • タレスの定理の逆
  • タレスの定理の逆を証明する。すなわち、∠Cを直角とする直角三角形ABCと、頂点ABCを通る円を考えるとき、図のように辺ABが円の直径になることを示す。証明辺ABの中点をPとし、点Pから∠Cに補助線を引く。PCと平行に点Aから新たな補助線を引く。辺BCを延長し、交点をQとする。この時PA=PCを示せば、点ABCと点Pの距離が全て等しくなるため、同一の円に乗っていることが示せる。(辺ABの中点Pが円の中心Oに等しいことが示せる)ま [続きを読む]
  • タレスの定理
  • タレスの定理を証明する。すなわち、図のような「直径ABに対する円周角∠C」が常に直角になることを示す。円の中心Oから直角Cに対して補助線を引いた。この時、辺OA、OB、そしてOCは全て半径なので同じ長さである。そのため、△AOCと△BOCはそれぞれ二等辺三角形となる。この時、元の?ABCの内角和を考える。∠A+∠B+∠C=180° (式1)であるが、図より、∠C=∠A+∠Bであることが明らかである。式(1)中の∠A+∠Bを∠Cに置 [続きを読む]
  • 薄い球殻の体積と直方体の体積
  • 薄い球殻の体積を求めたい。球殻は、中心を同じくする大きい球と小さい球とに挟まれた領域と言えるので、大きい球の半径を、小さい球の半径をとすると、体積は以下の式で表せる。begin{equation}V=frac{4}{3}pi (r+dr)^3-frac{4}{3}pi r^3end{equation}式を展開する。begin{eqnarray} require{cancel}V&=&frac{4}{3}pi (r+dr)^3-frac{4}{3}pi r^3&=&frac{4}{3}pi(cancel{r^3}+3r^2dr+3r dr^2+dr^3)-cancel{frac{4}{3}pi r^3} [続きを読む]
  • 細い輪の面積と長方形の面積
  • 細い輪の面積を求めたい。輪は、中心を同じくする大きい円と小さい円とに挟まれた領域と言えるので、大きい円の半径を、小さい円の半径をとすると、面積は以下の式で表せる。begin{equation}S=pi (r+dr)^2-pi r^2end{equation}式を展開する。begin{eqnarray} require{cancel}S&=&pi (cancel{r^2}+2rdr+dr^2)-cancel{pi r^2}end{eqnarray}ここで輪が細いことはが小さいことと等価である。しかしこの時、の項はさらに大幅に小 [続きを読む]
  • 指数関数の微分
  • 指数関数を、変数で微分したい。微分の定義に従って代入する。begin{equation}y'=lim_{h to 0}frac{a^{x+h}-a^x}{h}end{equation}ここから指数関数の性質を用いて式を変形していく。まず右辺をで括る。begin{eqnarray}y'&=&lim_{h to 0}frac{a^{x}(a^h-1)}{h}&=&a^{x}lim_{h to 0}frac{(a^h-1)}{h}end{eqnarray}はに関係ないので、の外側に出せた。つまりはに何か係数がかかった形になる。もしこの係数が1に等しければ、とシン [続きを読む]
  • ガチャ大爆死とネイピア数の関係
  • 連ガチャ大爆死の確率当たる確率1%の100連ガチャの爆死率について以前書いた。では、当たる確率0.1%の1000連ガチャや、当たる確率0.01%の10000連ガチャの爆死率はどうなるだろうか?エクセルで計算してみる。当たる確率1%の100連ガチャbegin{equation}0.99^{100}=0.366cdotsend{equation}当たる確率0.1%の1000連ガチャbegin{equation}0.999^{1000}=0.368cdotsend{equation}当たる確率0.01%の10000連ガチャbegin{equation}0 [続きを読む]
  • 対数関数の微分
  • 対数関数を、変数で微分したい。微分の定義に従って代入する。begin{equation}y'=lim_{h to 0} frac{lo
    g_{a} {(x+h)}-log_a x}{h}end{equation}ここから対数関数の性質を用いて式を変形していく。begin{eqnarray}y&apo
    s;&=&lim_{h to 0} frac{log_a left( frac{x+h}{x} right)}{h}&=&lim_{h to 0} frac{log_a left( 1+frac{h}{x} right)}{h}&=&lim_{h to 0}
    log_a left( 1+frac{h}{x} right)^{frac{1}{h}}end{eqnarray}ここで新たな [続きを読む]
  • 100連ガチャ爆死の確率
  • ガチャ☆5(当たり)が1%の確率で排出されるガチャを100連で回す。まあを100回引くんだから大体当たるだろう。本当にそうだろうか?もしガチャでなくて100枚のクジならば、外れるたびに外れが減っていくので100回引けば1枚は必ず当たりである。しかしガチャでは外れても毎回外れが補充され続けるため、外れだけを引き続ける可能性もある。実際にはどれぐらいの確率になるのだろうか。1回だけ引いて外れの確率当たりの確率は1%な [続きを読む]
  • 三項漸化式 特性方程式の解が複素数の場合
  • 例題以下の漸化式を特性方程式を用いて解き、を閉じた式で表す。begin{eqnarray}a_{n+2}&=&2a_{n+1}-2a_na_0&=&3a_1&=&5end{eqnarray}特性方程式は以下の形になる。begin{eqnarray}x^2-2x+2=0end{eqnarray}2次関数の解の公式を用いて特性方程式を解く。begin{eqnarray}x&=&frac{2pmsqrt{4-8}}{2}&=&frac{2pmsqrt{-4}}{2}&=&1 pm iend{eqnarray}特性方程式の2つの解を用いて、漸化式を2つの等比数列に変換する。begin{eqnarray} [続きを読む]
  • フィボナッチ数列の一般項
  • 特性方程式を用いて、フィボナッチ数列の一般項を求める。begin{eqnarray}F_{n+2}&=&F_{n+1}+F_{n}F_0&=&0F_1&=&1end{eqnarray}特性方程式を作るととなる。因数分解は容易でないので、解の公式にを代入する。begin{eqnarray}x&=&frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}&=&frac{-(-1)pmsqrt{(-1)^2-4cdot1cdot(-1)}}{2}&=&frac{1pmsqrt{5}}{2}end{eqnarray}解が求められた。特性方程式が異なる2つの解を持ったので、2つの等比数列を作れる [続きを読む]
  • 三項漸化式 特性方程式が重解を持つ場合
  • 特性方程式とは何か?a4.hateblo.jpこちらを参照特性方程式が重解を持つ場合特性方程式が重解を持つ場合等比数列の式が一つしかないので、差を取ってを削除する手法は使えない。これを別の方法で解く。まず特性方程式の解を両方ともと書く。begin{eqnarray}a_{n+1} -p a_{n} = p^n(a_{1} -p a_{0})end{eqnarray}両辺をで割る。begin{eqnarray}frac{a_{n+1}}{p^{n+1}} -frac{p a_{n}}{{p^{n+1}}} = frac{1}{p}(a_{1} -p a_{0} [続きを読む]
  • 三項漸化式 - 特性方程式が2つの解を持つ場合
  • 特性方程式とは何か?こちらを参照。解がの場合式(2)と式(3)の漸化式を等比数列に変形する。初項と次の項をそれぞれとした。begin{eqnarray}a_{n+1} -p a_{n} &=& q^n(a_{1} -p a_{0}) tag{4}a_{n+1} -q a_{n} &=& p^n(a_{1} -q a_{0}) tag{5}end{eqnarray}式(5)から式(4)を辺々引くとが消える。begin{eqnarray}(p-q)a_n&=&p^n (a_1- q a_0)-q^n( a_1-p a_0)end{eqnarray}両辺をで割る。(としているので0割の心配はない)be [続きを読む]
  • 三項漸化式の特性方程式
  • 以下のような形の三項間漸化式を解く。すなわち一般項を閉じた形で表す。begin{equation}a_{n+2} = ba_{n+1}+ca_n tag{1}end{equation}そのために式(1)を変形し、以下のような形にしたい。begin{equation}a_{n+2} -p a_{n+1} = q(a_{n+1}-p a_n) tag{2}end{equation}そうすれば、新たな数列は公比の等比数列になるためである。式(2)の右辺を展開する。begin{equation}a_{n+2} -p a_{n+1} = q a_{n+1}-p q a_nend{equation}の [続きを読む]
  • 等比数列の和
  • 等比数列等比数列の一般項は、初項を、公比をとして、begin{equation} a_n=r^na_0 end{equation}と表せる。(与えられた初項がだったらで割ってを作っておこう。が初項だとの指数がになって面倒なので)等比数列の和この数列をからまで足した値はいくつになるか?や省略のない形で表したい。まず単純に和を取ってみると、begin{equation}displaystyle sum_{k=m}^nr^ka_0=r^ma_0+r^{m+1}a_0+r^{m+2}a_0+cdots +r^{n-1}a_0+r^na_0 [続きを読む]
  • 隣接2項による漸化式
  • 簡単な漸化式数列の一般項が、やなどの別の項の関数として表されている式を漸化式と呼ぶ。もしある漸化式が、begin{equation}a_{n+1}=a_{n}+dend{equation}の形で表せる場合、この数列は明らかに公差の等差数列である。また、ある漸化式がbegin{equation}a_{n+1}=ra_nend{equation}の形で表せる場合、この数列は明らかに公比の等比数列である。隣接2項漸化式では、漸化式がで表される場合はどうなるか?すぐには解けないこの [続きを読む]
  • 等差数列の和
  • 等差数列等差数列の一般項は、を初項、を公差として、begin{equation}a_n=a_0+ndend{equation}の形で表せる。(与えられた初項がだったらを引いてを作っておこう。が初項だとの係数がになって面倒なので)等差数列の和この数列をからまで足した値はいくつになるか?や省略のない形で表したい。まず単純に和を取ってみると、begin{equation}displaystyle sum_{k=m}^n(a_0+kd)=a_0+md+left{a_0+(m+1)d right} +left{a_0+(m+2)d rig [続きを読む]
  • 2次方程式の解の公式
  • を満たすを定数で表す。すなわち、2次方程式の解の公式を導く。として、両辺をで割った。*1について平方完成を行った。定数項を右辺に移項した。両辺の平方根を取った。移項して定数項を右辺にまとめた。右辺を通分した。2次関数の解の公式が求められた。*1:の時、である。 [続きを読む]
  • フィボナッチ数列の和
  • フィボナッチ数列以下の数列をフィボナッチ数列と呼ぶ。begin{eqnarray}F_0&=&1F_1&=&1F_n&=&F_{n-1}+F_{n-2}end{eqnarray}すなわちは直前2項の和となる。実際に計算してみる。begin{eqnarray}F_2&=&F_0+F_1=1+1=2F_3&=&F_1+F_2=1+2=3F_4&=&2+3=5F_5&=&3+5=8F_6&=&5+8=13end{eqnarray}その和この数列の項目までの和、はどんな形になるだろうか?実際にを足し合わせてみると、begin{eqnarray}F_0&=&F_0F_1&=&F_1F_2&=&F_0+F_1 [続きを読む]
  • 数式コピペ用ページ
  • 見たままモードで動作確認済み斜線(打ち消し線)require{cancel} cancel{ax^2+bx+c}シグマ記号displaystyle sum_{k=0}^{n} F_k = 2F_0+3F_1+2F_2+2F_3+ cdots +F_{n-1}2次関数の解の公式displaystyle x=frac{-bpmsqrt{b^2-4ac}}{2a}式に番号をつける / 式を改行して=の位置を合わせるbegin{eqnarray}sin {abc} &=& frac{e^{iabc} - e^{-iabc}}{2i} tag{1} cos{x} &=& frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} tag{2}end{eqnarray}begin{e [続きを読む]
  • 目次
  • 数学数列フィボナッチ数列の一般項, フィボナッチ数列の和,等差数列の和,等比数列の和隣接2項による漸化式,隣接三項漸化式の特性方程式の意味,特性方程式が2つの解を持つ場合(実数編),(複素数編),特性方程式が重解を持つ場合幾何タレスの定理,タレスの定理の逆,ヒポクラテスの定理細い輪の面積と長方形の面積,薄い球殻の体積と直方体の体積方程式2次方程式の解の公式微分対数関数の微分,指数関数の微分 [続きを読む]
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